Unidad V. Aplicaciones de la derivada

Objetivo: El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas. 

1 Función creciente y decreciente. 

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

 f( x₁ ) < f( x₂ ).

 

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

 

 

 

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁  y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁ ) > f(x₂ ), la función se dice estrictamente decreciente.

 

 

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

 

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

 

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

 

 

 

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

 

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

 

 

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

 

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

 

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

 

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

 

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² > x₄²  (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)² ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

 

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

 

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

 

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm

2. Extremos relativos y extremos absolutos. 

Extremos relativos.

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

Extremos absolutos.
Sea, sea y sea un punto perteneciente a la función.
 
Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de . Esto es:
Máximo absoluto de .
 
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de . Esto es:
Mínimo absoluto de .

 

3. Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos. 

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .

Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue."

1. Si ' cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en .

2. Si ' cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en .

3. Si ' es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_primera_derivada

4. Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. 

La segunda derivada, no funciona cuando la primera derivada no está definida. Su procedimiento es el siguiente:

 

a) Puntos críticos: f'(x)6x + 5 = 0 x = -5/6 x = -0.83

- Para obtener el punto crítico se debe de despejar la "x" en la primera derivada. - Para obtener la segunda derivada se debe de sacar la segunda derivada y despejar la "x" si es el caso. - La concavidad se puede deducir dependiendo del resultado de la segunda derivada. Si es positivo la concavidad estará feliz. Si es negativo la concavidad estará triste. - El resultado también depende de la segunda derivada, si aumenta dependiendo del punto crítico, es mínimo, si disminuye dependiendo del punto crítico entonces será máximo. c) PUNTO DE INFLEXIÓN: - Igualar la segunda derivada con cero (0). (en este caso no hay punto de inflexión) d) GRÁFICA: - Sustituyes en la función original el punto crítico.(hay casos en que son dos puntos críticos) - Sustituyes en la función original el punto de inflexión. - Gráficas.

 



5. Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio. 

MAXIMOS Y MINIMOS
1. (UTILIDAD MAXIMA) Una empresa vende todas las unidades producidas a $4.00 cada una. El gasto total de la empresa G por producir x unidades esta dado en dólares por 

G=50+1.3x+0.001x²

a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función x.

b) Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad P sea máxima.

c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

P=4
C=50+1.3x+0.001x²

A) P=4x-50-1.3x-0.001x²≠

P=2.7x-50-0.001x²

P'(x)=0.002x-2.7
2.7
0.002

=x

B) x=1350≠

P=2.7 (1350)-0.001(1350)2 -50

C) P=1,772.50 ≠





2. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar cierto artículo es 

C=5+48x+3x2 

En donde x es el número de artículos producidos.
Encuentre el valor mínimo de C.

C=5+48x+3x2

C=5+48x-1+3x2

C'=48x2+6x
O=6x- 48x2

6x(x2)=48

x3= 486

X=2 ≠

C=5+482+3(2)2

C=5+482+3(4)
C=41≠

C es 41 cuando x=2



3. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos de cierto producto es:

C (x) =4000+3x+10-3x2
Determine el valor de x que hace del costo promedio por artículo un mínimo.

C(x)=4000+3x+0.001x2 

Cx=4000x+ 3xx+ 0.001x2x

C(x)=4000x-1+3+0.001x

C'x=-4000x-2+0.001

C'(x)=-4000x2+0.001

-4000x2+0.001=0

-0.001(x2)=4000

0.001(x2)=4000


x= 210000.001


x= 2000





4. (Utilidad máxima) En el ejercicio anterior, los artículos en cuestión se venden a $8.00 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la utilidad máxima.

C(x)=4000+3x+0.001x2 

I=8x
G=8x - 4000-3x - 0.001x2 

G=5x – 4000 - 0.001x2 

G'=5 - 0.002x

50.002=x

X=2500

G=5(2500) – 4000 – 0.001 (2500)2


=12500 – 4000 – 6250

G=2250http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicacion-De-Maximos-y-Minimos/313571.html  

6. Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Elasticidad de la demanda: Matemáticamente se expresa de la siguiente manera, siendo: E_d la elasticidad, Q_d la cantidad demandada y P el Precio:

 

 

1. La elasticidad de la demanda es el grado en que la cantidad demandada (Q), responde a las variaciones de precios (P) del mercado. En este caso, dados unos precios (P) y unas cantidades (Q) y un (P * Q) = Ingreso, tenemos que:

• Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente tanto que la multiplicación de (P * Q) sea mayor a la original, se presenta una demanda elástica.
• Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente en proporciones iguales y (P * Q) sea igual, la elasticidad es proporcional o igual a 1.
• Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente muy poco o nada que la multiplicación de (P * Q) es menor a la original, se afirma que la demanda de un bien es inelástica o rígida.
  http://wikitel.info/wiki/Elasticidad_de_la_demanda.

Elasticidad del ingreso. Al igual que la demanda puede ser medida por un coeficiente como la elasticidad precio de la demanda, ésta puede ser medida pero tomando como variable el ingreso de los consumidores. La ecuación es la siguiente:

η_I=ΔQ/ΔI . I/Q

En esta ecuación se mide la variación porcentual del consumo cuando aumenta el ingreso de los consumidores. Este coeficiente puede ser positivo o negativo. Si es positivo significa que el bien en estudio, el cual varía su consumo, es un bien normal, y si el coeficiente es negativo, el bien será inferior. Este coeficiente se puede estimar teniendo una función de demanda con los coeficientes respectivos, siguiendo los pasos dados en el caso de la elasticidad precio de la demanda.

 

 

Conclusión.

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.