Matematica 1: Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.

Objetivo: El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.

1. Derivadas de funciones logarítmicas.

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

2. Derivadas de funciones exponenciales.

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

3. Diferenciación implícita.

Recordemos que si es una función desconocida de que suponemos derivable, entonces podemos derivar implícitamente utilizando la regla de la cadena

$\dfrac{d}{dx}y^n=ny^{n-1}\dfrac{dy}{dx}$ ,

y en caso de tener que derivar expresiones del tipo $\dfrac{x^2y^3}{x+y^2}$ , con respecto de , las reglas de derivación (de un producto, cociente, etc.) se siguen aplicando.

Veamos dos ejemplos más donde apliquemos diferenciación implícita

Encuentra las rectas tangentes y normal a la curva en el punto dado para

1. $\left(x^2+y^2\right)^2=(x-y)^2$ en

2. $x\text{sen}2y=y\text{cos}2x$ en $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$

Entonces, derivando ambos lados de la expresión 1 con respecto a

$\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{d}{dx}(x-y)^2$

$2\left(x^2+y^2\right)\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=2(x-y)\dfrac{d}{dx}(x-y)$

$2\left(x^2+y^2\right)\left(2x+2y\dfrac{dy}{dx}\right)=2(x-y)\left(1-\dfrac{dy}{dx}\right)$

Simplificando y agrupando términos

$2x\left(x^2+y^2\right)+2y\left(x^2+y^2\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-(x-y)\dfrac{dy}{dx}$

$\left(2yx^2+2y^3+x-y\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-2x^3-2xy^2$

de donde obtenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y-2x^3-2xy^2}{2yx^2+2y^3+x-y}$

Evaluando la derivada en el punto dado obtenemos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(-2,1)}=\dfrac{-2-1-2(-2)^3-2(-2)(1)^2}{2(1)(-2)^2+2(1)^3-2-1}=\dfrac{17}{7}$

Sustituyendo la pendiente y el punto en la forma punto pendiente de la ecuación de una recta se obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto

$y-1=\dfrac{17}{7}(x+2)$

Que podemos reescribir como

Para encontrar la pendiente de la recta ortonormal utilizamos el hecho de que dos rectas con pendientes y son perpendiculares si $m_1=-\dfrac{1}{m_2}$ Entonces la pendiente de la recta normales $m=-\dfrac{7}{17}$ y

$y-1=-\dfrac{7}{17}(x+2)$ Es la ecuación buscada.

Derivando implícitamente la segunda función

$\dfrac{d}{dx}x\text{sen}2y=\dfrac{d}{dx}y\text{cos}2x$

$\text{sen}2y+2x\text{cos}2y\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\text{cos}2x-2y\text{sen}2x$

Agrupando términos

$(2x\text{cos}2y-\text{cos}2x)\dfrac{dy}{dx}=-(2y\text{sen}2x+\text{sen}2y)$

Despejando la derivada

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2y\text{sen}2x+\text{sen}2y}{2x\text{cos}2y-\text{cos}2x}$

Evaluando en el punto

$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(\pi/4,\pi/2)}=-\dfrac{\pi}{-\frac{\pi}{2}}=2$

La pendiente de la recta normal es entonces $m=-\dfrac{1}{2}$

y las ecuaciones de las rectas tangente y normal son

y $4x+8y-5\pi=0$ , respectivamente.

4. Diferenciación logarítmica.

5. Derivadas de orden superior.

es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para

en el dominio

Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función

que se denota por

o $D_{x}^{2}f(x)$ , que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$ . O sea, la segunda derivada de la función

se obtiene derivando la primera derivada de la función.

Ejemplos:

Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces:

$f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y

6. Diferenciales

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

7. Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.

El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción.

Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo.

El ingreso marginal está íntimamente relacionado con el costo marginal y su función. Así el ingreso marginal será la inversa a la anterior.

Si el precio de venta es fijo, el ingreso marginal será creciente mientras el costo marginal sea decreciente y será decreciente cuando el anterior sea creciente ya que el ingreso marginal se calcula restando al precio el costo marginal de esa nueva unidad vendida. Estos cálculos son válidos siempre que el precio sea constante en un mercado de competencia perfecta, regulado por la teoría de la oferta y la demanda, para aumentar la cantidad vendida debe reducirse el precio de toda la producción por lo que el dato de ingreso marginal es anecdótico.

Utilidad Marginal es el aumento o disminución de la utilidad total que acompaña el aumento o disminución de la cantidad que se posee de un Bien. Un ejemplo que lo ilustra es el caso de una persona sedienta que encuentra un vaso de agua en el desierto. El primer vaso será extremadamente valorado. Pero si se toma un segundo vaso dicha valoración va a ser menor. El vaso número 10 probablemente no le generará ningún placer, pudiendo ocasionar incluso un malestar.

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/U/UTILIDAD_MARGINAL.htm

La propensión marginal al consumo se define como el aumento del consumo con la renta disponible, matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:

$\mbox{PMC}=\frac{dC}{dY_{D}}$

Que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesiano, se formula la siguiente expresión de consumo:

$C = C_0 + cY_D\,$

Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:

$C\,$ = Consumo

$C_0\,$ = Consumo autónomo o fijo.

$c\,$ = Propensión marginal a consumir

$Y_D\,$ = Ingreso disponible

$(1-c)=b\,$ = Propensión marginal a ahorrar.

La propensión marginal al ahorro se define partir de la propensión marginal a consumir. Matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:

$\mbox{PMC}=\frac{dC}{dY_{D}}$

que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesianismo, se formula la siguiente expresión de consumo:

$C = C_0 + cY_D\,$

Que se considera aproximademente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:

$C\,$ = Consumo

$C_0\,$ = Consumo autónomo o fijo.

$c\,$ = Propensión marginal al consumo

$Y_D\,$ = Ingreso disponible

$(1-c)=b\,$ = Propensión marginal a ahorrar.

Conclusión.

En esta unidad vemos los diferentes tópicos de una diferenciación la cual nos damos cuenta que es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.

sábado, 23 de mayo de 2015

Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.