Unidad II. Límites y continuidad.

limites y continuidad.

Objetivo: El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

1. Definición de límite. 

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir o en el punto c.

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

http://definicion.de/limite-de-una-function

2. Propiedades de los límites.

Propiedades de los límites

Los límites forman una parte fundamental del cálculo en las Matemáticas. De hecho, el primer punto en el concepto del cálculo está marcado por los límites. Los límites pueden ser entendidos fácilmente al observar sus propiedades.

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

 Las propiedades de los límites, también conocidas como “Teoremas  De Límite Central “, se pueden establecer como:

1). El límite de una función siempre es único y es por esta razón que siempre se refiere a estos como “El Límite” y no simplemente límite. Esta propiedad básica se puede demostrar como:

Si y, Entonces, L1 = L2

2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado.

 

3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado.

4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir,

5). Para la división, la regla básica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la división, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dará lugar a un “error cero”.

6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir,

7). El límite de un número fijo o inmutable es un número fijo en sí mismo.

8). El límite global de la proporción (cociente) de dos funciones es la proporción del límite de las dos funciones por separado.

9). Límite de la Función Exponencial: De acuerdo a esta propiedad,

10). Límite de una Función Logarítmica: De acuerdo a ella,

11). Teorema de Estricción: Considerando el caso f® g® h® para r acercarse a x .Si

http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites

https://sites.google.com/a/itmazatlan.edu.mx/huerta/3-2---propiedades-de-los-limites

3. Límites laterales. 

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe una discontinuidad cuando :

Notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos para indicar que tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites,escribimos.

 

Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.

Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que: y y

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/lim-laterales.html

4. Límites al infinito. 

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

 

 

5. Continuidad y discontinuidad. 

Condiciones que debe cumplir una función para que sea continúa en un punto. Si alguna condición no se cumple la función presentara una discontinuidad en ese punto.

 

 

6. Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio. 

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

Año	Préstamo inicial	Interés	Préstamo final
0 (Ahora)	$1,000.00	($1,000.00 × 10% = ) $100.00	$1,100.00
1	$1,100.00	($1,100.00 × 10% = ) $110.00	$1,210.00
2	$1,210.00	($1,210.00 × 10% = ) $121.00	$1,331.00
3	$1,331.00	($1,331.00 × 10% = ) $133.10	$1,464.10
4	$1,464.10	($1,464.10 × 10% = ) $146.41	$1,610.51
5	$1,610.51

 

Los límites y aplicación en funciones Los siguientes ejercicios son actividades formativas para que el estudiante practique y refuerce sus conocimientos. Actividad 1. Maximización de costo promedio El costo promedio mensual debido en una empresa de ensamble de computadoras por unidades ensambladas está dado por la siguiente función: Cu= 15000+ 1250u En donde u representa el número de unidades ensambladas. Se desea aumentar el número de unidades ensambladas. Determine el costo promedio máximo de la empresa si se aumenta la producción de unidades de ensamblaje. El costo promedio mensual está dado por la función C(u)=15,000+1,250/u La función para costo promedio mensual salió de: C(x) = aX+Cf para poder determinar cuál es el costo fijo. Sustituyendo: C(x)=15,000x+1,250 El costo promedio mensual es igual al costo total entre el número de unidades ensambladas que aportan al costo. La función de costo promedio: Cm(x) = Cx/x Sustituyendo C(x) = ([15,000x /x] + [1250/x]) = 15,000+1250/x = C(u)=15,000+1,250/u Donde U representa al infinito y todo número dividido entre infinito es igual a 0. Entonces C(u)=15,000+ 0 C(u)=15,000 La función de costo promedio mensual tiene 15,000 . Como el número de unidades ensambladas no está definido, se considera infinito y la función tiende a 15,000.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Capitalizaci%C3%B3n_continua

http://administracion.realmexico.info/2012/10/limites-y-aplicacion-en-funciones.html

Conclusión:

El límite es el comportamiento de dicha función en el entorno de un punto, sin importar qué sucede en el mismo (puede incluso no estar definida la función en dicho sitio). Al igual si una función es continua, entonces sus límites por la derecha y por la izquierda son los mismos. Si el límite no existe, entonces tenemos una discontinuidad esencial.