Matematica 1: Unidad III. Derivada de una función

Objetivo: El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

1. Definición de la derivada.

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://definicion.de/derivada/

2.Diferenciación de funciones por incrementos.

3.La derivada como razón de cambio

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumen de un globo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptosDeIncrementoYDeRazonDeCambioLaDerivadaDeUnaFuncion

4. Diferenciabilidad y continuidad.

Así Como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

Arriba

v La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.htm

5. Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

Contante por una función.

Cuando una función esté representada por medio de $f(x)=cx^{n}$ , su derivada equivale a $f'(x)=n(cx^{(n-1)})$ de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: $f(x)=8x^{4}$ , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

$f'(x)=4(8x^{4-1})$

Para obtener

$f'(x)=32x^{3}$

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que $x^{0}=1$

Suma.

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir, o $\frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}$ .

Como ejemplo consideremos la función $f(x)=3x^{5}+x^{3}$ , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

$f '(x)=15x^{4}+3x^{2}$

Derivada de un producto.

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."

Y matemáticamente expresado por la relación $(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,$ . Consideremos la siguiente función como ejemplo:

$h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)$

Identificamos a y $g(x)=(3x^{7}+2)$ , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

y que $g'(x)=21x^{6}$

Por lo tanto

$h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})$

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

$h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8$

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

$h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8$

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir $(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'$ en donde $p = g\cdot h$ (sin importar que dos funciones escogemos).

6. La regla de la cadena y de la potencia

Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. En ocasiones utilizo con mis alumnos la expresión “funciones dentro de funciones” para describir esta operación. Para obtener la derivada con la regla de la cadena en el caso de la composición por ejemplo de dos funciones, tenemos que aplicar la regla de derivación a la función “exterior“, o sea la aplicamos a la que “engloba“, y luego multiplicar por la derivada de la función “interior“, es decir la que “es englobada“.

En resumen, la composición de dos funciones se derivará mediante la regla de la cadena y nos dará .

Podemos aplicar la regla de la cadena a todas las funciones que hemos ido describiendo en los artículos de la serie Aprender a derivar, considerando que cada una de ellas tiene como variable otra función f(x) en lugar de x. Os muestro en la siguiente tabla cómo quedarían las derivadas con la regla de la cadena.

Función

Derivada

Si tenemos:

Si tenemos:

http://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/derivada-con-la-regla-de-la-cadena/

7. Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.

El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción.

Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo.

El ingreso marginal está íntimamente relacionado con el costo marginal y su función. Así el ingreso marginal será la inversa a la anterior.

Si el precio de venta es fijo, el ingreso marginal será creciente mientras el costo marginal sea decreciente y será decreciente cuando el anterior sea creciente ya que el ingreso marginal se calcula restando al precio el costo marginal de esa nueva unidad vendida. Estos cálculos son válidos siempre que el precio sea constante en un mercado de competencia perfecta, regulado por la teoría de la oferta y la demanda, para aumentar la cantidad vendida debe reducirse el precio de toda la producción por lo que el dato de ingreso marginal es anecdótico.

Utilidad Marginal es el aumento o disminución de la utilidad total que acompaña el aumento o disminución de la cantidad que se posee de un Bien. Un ejemplo que lo ilustra es el caso de una persona sedienta que encuentra un vaso de agua en el desierto. El primer vaso será extremadamente valorado. Pero si se toma un segundo vaso dicha valoración va a ser menor. El vaso número 10 probablemente no le generará ningún placer, pudiendo ocasionar incluso un malestar.

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/U/UTILIDAD_MARGINAL.htm

http://www.enciclopediafinanciera.com/images/utilidad-marginal.png

La propensión marginal al consumo se define como el aumento del consumo con la renta disponible, matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:

$\mbox{PMC}=\frac{dC}{dY_{D}}$

Que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesiano, se formula la siguiente expresión de consumo:

$C = C_0 + cY_D\,$

Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:

$C\,$ = Consumo

$C_0\,$ = Consumo autónomo o fijo.

$c\,$ = Propensión marginal a consumir

$Y_D\,$ = Ingreso disponible

$(1-c)=b\,$ = Propensión marginal a ahorrar.

La propensión marginal al ahorro se define partir de la propensión marginal a consumir. Matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:

$\mbox{PMC}=\frac{dC}{dY_{D}}$

que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesianismo, se formula la siguiente expresión de consumo:

$C = C_0 + cY_D\,$

Que se considera aproximademente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:

$C\,$ = Consumo

$C_0\,$ = Consumo autónomo o fijo.

$c\,$ = Propensión marginal al consumo

$Y_D\,$ = Ingreso disponible

$(1-c)=b\,$ = Propensión marginal a ahorrar.

Conclusión:

La importancia que tiene al estudiar derivados y límites, nos permite conocer cómo se ejecuta todos sus pasos; La derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Al igual, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable.

Matematica 1

sábado, 23 de mayo de 2015

Unidad III. Derivada de una función

1. Definición de la derivada.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://definicion.de/derivada/

2.Diferenciación de funciones por incrementos.

3.La derivada como razón de cambio

4. Diferenciabilidad y continuidad.

5. Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

6. La regla de la cadena y de la potencia

7. Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

1 comentario:

Función	Derivada

Si tenemos:
Si tenemos: