sábado, 9 de mayo de 2015

UNIDAD I. FUNCIONES.




    1. Definición y notación de función. 


Objetivo:  El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas, tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.  


Definición:

 En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

 

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.


Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.


A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:


                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16


Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":


                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16



                         x -------->   x2.

 




 

La notación funcional

En matemáticas, una función, aplicación  f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:










Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.






En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida. En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales.








2. Dominio y rango de una función.

El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:
D_f = \; \left\{x \in X | \exists y \in Y: f(x)=y\right\}








El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.


Por ejemplo:


http://artigoo.com/imagenes/orlando777/funcion-cuadratica.jpg

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:



Gráfica de la función cuadrática
Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa está ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:
mayor o igual
Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.
Ahora los invito a ver el siguiente video que ayuda a complementar la información sobre dominio y rango de las funciones:




3. Tipos de funciones


 
En las funciones algebraicas: las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:


Funciones explícitas


Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2


Funciones implícitas


Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones Polinómicas: Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real.
Funciones racionales: El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales: El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones lineal: Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.
Monografias.com
 





4. Operaciones con funciones

Suma de funciones
Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por
 
                          http://www.sectormatematica.cl/imeh/funope29.gif
 
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función
 
                          http://www.sectormatematica.cl/imeh/funope30.gif
 
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
 
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
 
                          http://www.sectormatematica.cl/imeh/funope31.gif
 
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
 
                                 http://www.sectormatematica.cl/imeh/funope32.gif
 
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
 
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por
 
                              http://www.sectormatematica.cl/imeh/funope33.gif
 



5. Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.
Composición
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7


6. Gráfica de una función


En matemáticas, la gráfica de una función:


\begin{array}{rccl} f: & X & \longrightarrow & Y \\ & x & \longmapsto & y= f(x) \end{array}

Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

http://images3.wikia.nocookie.net/__cb20100218020756/answers/es/images/4/4d/Funcionlineal.gif

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n

http://www.vitutor.com/fun/2/a_3.html

http://www.ditutor.com/funciones/graficas_funciones.html

https://es.khanacademy.org/math/algebra2/functions_and_graphs

http://www.sangakoo.com/es/temas/representacion-grafica-de-una-function

7. Función lineal y función cuadrática. 

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacia arriba o abajo.
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:
  • Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
  • Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
  • Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).
    Estos son los tres tipos de funciones:
    Haz click en la imagen para verla más grande
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funciones lineales y cuadráticas 2

 Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe: f(x) = ax2 + bx + c
a, b y c = números reales diferentes a cero.
Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eje de las “y”.
Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.




8. Función exponencial y logarítmica


FUNCION EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
f:ℜ → ℜ
x → f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
1- a° = 1
2- a-n = 1/an
Funciones
Funciones
 
Funciones logarítmicas
Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.
Entonces se dan dos casos:
Base mayor que la unidad (a > 1)
Función logarítmica
Comparación: Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1).

En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.
http://html.rincondelvago.com/funcion-logaritmica.html
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones3/impresos/quincena10.pdf
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/ap05_funciones.php



9. Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de apreciación y depreciación. 

Funciones de oferta y demanda. En Economía aparecen como objeto de estudio las funciones de oferta y de demanda.
La función de demanda fd para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.
fd = mp + n con m<0 o bien fd = ap2 + bp + c, con a<0.
La función de oferta fo , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.
fo = kp + v con k>0 o bien fo = dp2 + ep + f, con d>0.
El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".
En la siguiente escena vamos a analizar la situación que resulta cuando ambas funciones, Oferta y demanda, son lineales. En la parte superior de la escena introduciremos los coeficiente de la función oferta y en la inferior los de la función demanda.
Funciones de ingresos, costos y utilidades.
Función de Costos: Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. Enconsecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma:
Costo = Costo variable + Costo fijo
 
En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de laforma
C(x) = mx + b
 
Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente, el costomarginal, mide el costo incremental por artículo.Función de Ingresos: Una función ingreso R específica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.
R(x) = x
 
 
https://html2-f.scribdassets.com/8p4t6am1xc16qzad/images/1-bf534bdb2c.png
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones de apreciación y depreciación. 

La depreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo por depreciación será igual al costo menos el valor de desecho.
Costo – valor de desecho
=
monto de la depreciación para cada año de vida del activo o gasto de depreciación anual



Ejemplo: Para calcular el costo de depreciación de una cosechadora de 22.000 euros que aproximadamente se utilizará durante 5 años, y cuyo valor de desecho es de 2.000 euros, usando este método de línea recta obtenemos:


22.000 € - 2.000 €
=
Gasto de depreciación anual de 0,20 €
100.000 Kg
 
Ahora para conocer el gasto cada año multiplicaremos el número de kilogramos cosechados cada año por ese gasto unitario obtenido anteriormente, que en este caso, al tratarse de 5 años de vida útil, quedará así: 
Año
Costo por kilogramo
X
Kilogramos
Depreciación anual
1
0,2 €
 
30.000
6.000 €
2
0,2 €
 
30.000
6.000 €
3
0,2 €
 
15.000
3.000 €
4
0,2 €
 
15.000
3.000 €
5
0,2 €
 
10.000
2.000 €
 
 
 
100. 000
20.000 €

Conclusión: las funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la economía, finanzas y estadísticas, entre otras más. Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.
Al igual Podemos construir funciones complicadas a partir de funciones simples, mediante el proceso de composición, donde el resultado de una función es el insumo de otra.

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